湖南省长沙一中多校2023-2024学年高一下学期3月大联考数学试题（解析版）

湖南省 长沙一中多校 2023-2024 学年高一下学期 3 月大联考 数学试题 本试卷共 4 页，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 . 注意事项： 1. 答题前 . 考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷和答题卡上 . 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 . 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 . 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量 ， 且 ，则正数 （ ） A. B. 2 C. 1 D. 3. “ ” 是 “ ” （ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知平面向量 ，则 在 上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 将向量 绕坐标原点 逆时针旋转 得到 ，则 （ ） A. 8 B. C. D. -4 6. 已知 的面积为 ，则 （ ） A. 13 B. 14 C. 17 D. 15 7. 某次军事演习中，炮台 向北偏东 方向发射炮弹，炮台 向北偏西 方向发射炮弹，两炮 台均命中 外的同一目标，则 两炮台在东西方向上的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 和 的定义域均为 ，若 满足 ，且 与 图象的交点为 ， ， ， ，则（ ） A. 必为奇数，且 B. 必为偶数，且 C. 必为奇数，且 D. 必为偶数，且 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对得 6 分，部分选对得 3 分，有选错得 0 分 . 9. 在 中， ，则下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则符合条件的 有且只有 1 个 B. 若 ，则符合条件的 有且只有 2 个 C. 若 ，则符合条件的 有且只有 2 个 D. 若 ，则不存在这样的 10. 已知函数 的最小正周期为 ，则（ ） A. B. 在 上单调递增 C. 的图象的对称中心为 D. 是奇函数 11. 向量积在数学和物理中发挥着重要作用 . 定义向量 与 向量积的模 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若 为非零向量，且 ，则 C. 若 的面积为 ，则 D. 若 ，则 最小值为 3 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 . 12. 若非零向量 ， 满足 ，则 _________ . 13. 在平面直角坐标系中，向量 ， ，正六边形 的顶点 位于坐标原点， ，若 ，则 __________ ， _____ _____ . 14. 设函数 ，在 中， ，则 周长的最大值为 __________ . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分 . 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 . 15. 已知平面向量 . （ 1 ） 若 ，求 的值； （ 2 ） 若 与 的夹角为锐角，求 的取值范围 . 16. 在 中， 分别是 上的点，且 与 相交于点 . （ 1 ） 用 表示 ； （ 2 ） 若 ，求 面积的最大值 . 17. 在锐角 中，内角 的对边分别为 ，且 . （ 1 ） 求 ； （ 2 ） 若 是边 上一点（不包括端点），且 ，求 取值范围 . 18. 已知 函数 为奇函数 . （ 1 ） 求 ； （ 2 ） 若 ，求满足不等式 最大整数 . 19. 在 中，内角 的对边分别为 . （ 1 ） 求 ； （ 2 ） 若 ，求 的最大值 . 2024 年上学期高一 3 月大联考数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】首先解绝对值不等式求出集合 ，再根据交集的定义计算可得 . 【详解】由 ，即 ，解得 ， 所以 ， 又 ， 所以 . 故选： C. 2. 已知向量 ， 且 ，则正数 （ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】 C 【解析】 【分析】由 可得 ，即可求解 . 【详解】由 得 ，解得 或 ， 因为 为正数，所以 . 故选： . 3. “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 D 【解析】 【分析】根据对数函数的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可 . 【详解】由 可知 或 ，则无法判断 是否成立，故充分性不成立； 当 ， 时满足 ，但是 、 均无意义，即 不成立，故必要性成立； 因此 “ ” 是 “ ” 的既不充分也不必要条件 . 故选： D 4. 已知平面向量 ，则 在 上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】先求得 ，再利用投影向量的定义即可求得 在 上的投影向量的坐标 . 【详解】 在 上 投影向量的坐标为 . 故选： B 5. 将向量 绕坐标原点 逆时针旋转 得到 ，则 （ ） A. 8 B. C. D. -4 【答案】 B 【解析】 【分析】首先求出 ，即可得到 且 ，再根据数量积的运算律及定义计算可得 . 【详解】因为 ，所以 且 ， 所以 . 故选： B. 6. 已知 的面积为 ，则 （ ） A. 13 B. 14 C. 17 D. 15 【答案】 C 【解析】 【分析】先根据三角形的面积公式求出 ，再利用余弦定