浙江省
宁波市
2023
学年第一学期期末考试
高三数学试卷
全卷共
4
页，考试时间
120
分钟
.
一、选择题：本题共
8
小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
.
1.
已知集合
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
2.
设
为虚数单位，且
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
3.
已知非零向量
满足
，向量
在向量
方向上的投影向量是
，则
与
夹角的余弦值为（
）
A.
B.
C.
D.
4.
体育课上，老师让
2
名女生和
3
名男生排成一排，要求
2
名女生之间至少有
1
名男生，则这
5
名学生不同
排法共有（
）
A.
24
种
B.
36
种
C.
72
种
D.
96
种
5.
已知
是奇函数，则
（
）
A.
1
B.
C.
2
D.
6.
已知
，则下列选项中，能使
取得最小值
25
的为（
）
A.
B.
C.
D.
7.
已知椭圆
的左、右焦点分别为
是椭圆
的上顶点，线段
的延长线交椭圆
于点
．若
，则椭圆
的离心率
（
）
A.
B.
C.
D.
8.
在平行四边形
中，已知
，将
沿
翻折得四面体
．作一平面分别与
交于点
．若四边形
是边长为
的正方形，则四面体
外接球的表面积为（
）
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共
4
小题，在每小題给出的四个选项中，有多项符合题目要求
.
9.
数字经济是继农业经济、工业经济之后的主要经济形态．近年来，在国家的大力推动下，我国数字经济规模增长迅猛，《
“
十四五
”
数字经济发展规划》更是将数字经济上升到了国家战略的层面．某地区
2023
年上
半年月份
与对应数字经济的生产总值（即
GDP
）
（单位：亿元）如下表所示．
月份
1
2
3
4
5
6
生产总值
30
33
35
38
41
45
根据上表可得到回归方程
，则（
）
A.
B.
与
正相关
C.
若
表示变量
与
之间的相关系数，则
D.
若该地区对数字经济的相关政策保持不变，则该地区
7
月份的生产总值约为
亿元
10.
已知函数
的部分图象如图所示，
，则（
）
A.
B.
在区间
上单调递增
C.
在区间
上既有极大值又有极小值
D.
为了得到函数
的图象，只需将函数
的图象向右平移
个单位
11.
已知圆
，抛物线
焦点为
为抛物线
上一点，则（
）
A.
以点
为直径端点的圆与
轴相切
B.
当
最小时，
C
当
时，直线
与圆
相切
D.
当
时，以
为圆心，线段
长为半径的圆与圆
相交公共弦长为
12.
已知函数
满足：对
，都有
，且
，则以下选项正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共
4
小题
.
13.
的展开式中
的系数为
____________
．（用数字作答）．
14.
某校元旦文艺汇演中，有八位评委对一舞蹈节目评分，该节目得分依次为
，则这组数据的第
70
百分位数为
____________
．
15.
“
PVC
”
材质的交通路障因其便携、耐用、易塑形等优点被广泛应用于实际生活中．某厂家设计的一款实心交通路障模型如下图所示，该几何体的底部是一个正四棱柱（底面是正方形的直棱柱），上部是一个圆台，结合图中所给的数据（单位：
），则该几何体的体积为
____________
．
16.
已知
成公比为
2
的等比数列，且
．若
成等比数列，则所有满足条件的
的和为
____________
．
四、解答题：本题共
6
小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
17.
在
中，内角
所对的边分别为
．已知
．
（
1
）
求
A
的大小；
（
2
）
若
，求
的面积．
18
已知函数
，其中
．
（
1
）
当
时，求曲线
在
处的切线方程；
（
2
）
记
为
的导函数，若对
，都有
，求
的取值范围．
19.
如图，在四棱锥
中，
底面
，
，点
在
上，
，过点
作
的垂线交
于点
．
（
1
）
证明：
平面
；
（
2
）
求平面
与平面
夹角的余弦值．
20.
已知等差数列
的前
项和为
，且
．
（
1
）
求数列
的通项公式；
（
2
）
设
，数列
的前
项和为
．问：是否存在
，使得
，
成等比数列，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
21.
某次高三数学测试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得
5
分，选错得
0
分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得
5
分，部分选对得
2
分，有错误选择或不选择得
0
分．
（
1
）
若小明对其中
5
道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，每题选到正确选项的概率均为
，且每题的解答相互独立，记小明在这
5
道单选题中答对的题数为随机变量
．
（
i
）求
；
（
ii
）求使得
取最大值时的整数
；
（
2
）
若小明在解答最后一道多选题时，除发现
A
，
C
选项不能同时选择外，没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．已知此题正确答案是两选项与三选项的概率均为
，问：小明应如何作答才能使该题得分的期望最大（写出小明得分的最大期望及作答方式）．
22.
已知双曲线
中心为坐标原点，右焦点为
，且过点
．
（
1
）
求双曲线
的标准方程；
（
2
）
已知点
，过点
的直线与双曲线
的左、右两支分别交于点
，直线
与双曲线
交于另一点
，设直线
的斜率分别为
．
（
i
）求证：
为定值；
（
ii
）求证：直线
过定点，并求出该定
2024届浙江省宁波市慈溪中学高三上学期期末数学试题（详解版）
